Ley de Benford
Una sorprendente teoría matemática llamada Ley de Benford predice que un conjunto determinado de números, aquellos cuyos primer dígito es 1 aparecerán de forma más frecuentemente que los números que empiezan por otros dígitos. La distribución de los primeros dígitos es bastante asimétrica, la frecuencia esperada para números que empiezan por 1 es casi del 30%, para el 2 es un poco más del 17%, para el 3 algo más del 12 % y para el resto disminuye.
Primer documento europeo y español con cifras decimales.
Benford trabajó con más de 20.000 conjuntos de números de todo tipo hasta poder tener datos suficientes para enunciar su teoría.
Benford
La historia de está teoría es interesante. El astrónomo Newcomb en el año 1881 pudo observar que en su libro de logaritmos estaban mucho más desgastadas las primeras páginas que las últimas... De lo que dedujo que aparentemente los dígitos iniciales de los números (al menos los utilizados en su trabajo por quienes habían consultado las tablas) no son equiprobables sino que el 1 aparece como dígito inicial más frecuente, seguido del 2, etc. hasta el 9 que es el menos frecuente. En lo sucesivo se considerará el primer dígito no nulo o significativo; p.e. el dígito inicial de 24,8 es 2 y el de 0,034 es 3. Obsérvese que como primer dígito no se toma nunca el 0. Mediante un breve e ingenioso razonamiento, aunque sin presentar realmente un argumento formal ni fórmula matemática, Newcomb enunció verbalmente una relación o ley logarítmica: “la ley de probabilidad de la ocurrencia de números es tal que las mantisas de sus logaritmos son equiprobables” de la que derivó probabilidades para el valor del primer dígito más significativo:
El resultado más llamativo es el predominio del dígito 1 con una probabilidad del 30% mientras que la del 9 no alcanza el 5%, valores muy distintos al valor equiprobable de (100/9) % que cabría esperar. Es mucho más probable que el primer dígito sea impar (61%) que par (39%).
Newcomb
En 1938 y de manera independiente el físico Frank Benford observó el mismo fenómeno en las tablas de logaritmos y realizó una comprobación empírica sobre un total de 20.229 números agrupados en 20 muestras de gran diversidad: áreas fluviales, constantes y magnitudes físicas y químicas, funciones matemáticas e incluso números de direcciones de personas y tomados de portadas de revistas. A partir de los resultados empíricos Benford postuló una “ley de los números anómalos” para la probabilidad de que el primer dígito sea d. Esta ley logarítmica se conoce como “ley de Benford”.
Grado de probabilidad
La ley de Benford, también conocida como la ley del primer dígito, asegura que, en los números que existen en la vida real, la primera cifra es 1 con mucha más frecuencia que el resto de los números.
Más precisamente la ley de Benford establece que la primera cifra no nula n (n = 1, ..., 9) ocurre con una probabilidad igual a ( log10(n + 1) − log10(n) ), o
Primera cifra
Probabilidad
1/ 30.1 %
2/ 17.6 %
3/ 12.5 %
4/ 9.7 %
5/ 7.9 %
6/ 6.7 %
7/ 5.8 %
8/ 5.1 %
9/ 4.6 %
La Ley de Benford es una de las teorías matemáticas más curiosas, en principio porque parece referirse a una especie de orden en medio de la aleatoriedad matemática pero también por su aparición en la naturaleza, como sucede con la sección áurea. número dos, 12,5% para el tres, hasta llegar al pobre nueve, con sólo un 4,6%.
Pero, además de ser una curiosidad de la matemática, la Ley de Benford, según el trabajo realizado por Sambridge permite nada más y nada menos que predecir un terremoto. El equipo estaba analizando los datos sísmicos de una región y si bien en general coincidían, eran distintos a los analizados en otras zonas. Comenzaron a ver los datos con más profundidad y descubrieron que se estaba produciendo en ese mismo momento un terremoto que, si lo incorporaban a los datos, resolvía todas las discrepancias. En palabras de Theodore Hill, matemático norteamericano que colaboró en la investigación: Es la primera vez que se descubre un fenómeno físico utilizando la Ley de Benford.
Fenómenos naturales como los terremotos son prácticamente imposibles de predecir. Utilizando esta ley se puede acertar en la predicción con la curiosa ley matemática que simplemente establece que el número uno es el más popular.
Si alguien trata de falsificar, por ejemplo, su declaración de la renta, irremediablemente tendrá que inventar algún dato. Al intentarlo, la tendencia de la gente es utilizar demasiados números que comienzan por dígitos a mitad de la escala, 5, 6, 7, y pocos que empiezan por 1. Esta violación de la Ley de Benford no implica necesariamente fraude, pero sí constituye un buen indicio para justificar una inspección más detallada.
De tal manera que esta ley se usa para auditorías financieras e incluso es admisible como prueba en casos criminales en EEUU. Se basa en que los “balances” financieros deben seguir esta ley, Un ejemplo muy mencionado es que se usó para detectar el fraude de un emprendedor, Kevin Lawrence, que se gastó fraudulentamente 91 millones de dólares de sus inversores, también se la mencionó como evidencia de fraude es las lecciones de Irán en 2009, y la usaron para analizar las declaraciones de renta de Clinton (que las pasó correctamente).
Por ejemplo, la Hacienda de EE.UU determinó que si una cifra empieza por tres y aparece el 40% de las veces, en vez del 12,5%, hay motivos para investigar el fraude fiscal.
El incremento en el uso de sofisticadas herramientas estadísticas, como el análisis digital usando la Ley de Benford, se ha visto facilitado por el aumento del uso de Técnicas de auditoría asistida por ordenador (CAATs) como parte del proceso de auditoría.
Esta ley nos induce a un postulado intrigante. ¿Podría ser que la ley de Benford apuntase hacia algún tipo de teoría subyacente que gobierna la naturaleza de muchos sistemas físicos? Seguramente sí.
No hay comentarios:
Publicar un comentario